Metode Simpleks

Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemograman linear. Penentuan solusi optimal didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim (ingat solusi grafik) satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan dengan tahap demi tahap yang disebut iterasi.

Beberapa Istilah yang digunakan dalam metode simpleks,diantaranya sebagai berikut.

1.      Iterasi, seperti yang disebutkan sebelumnya adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

2.      Variabel non basis, adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.

3.      Variabel basis, merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan <) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan > atau =). Secara umum, jumlah variabel batas selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif)

4.      Solusi atau Nilai Kanan (NK), merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

5.      Variabel Slack, adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan < menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.

6.      Variabel Surplus, adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan > menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel bebas.

7.      Variabel Buatan, adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk >atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel ini hanya ada di atas kertas.

8.      Kolom Pivot (Kolom Kerja), adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).

9.      Baris Pivot (Baris Kerja), adalah salah satu baris dari antara variabel baris yang memuat variabel keluar.

10.  Elemen Pivot (Elemen Kerja), adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

11.  Variabel Masuk, adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

12.  Variabel Keluar, variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan dengan variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi dan bernilai 0.

Langkah Penyelesaian Metode Simpleks, Beberapa ketentuan yang perlu diperhatikan, menurut Abdullah (2009:12) antara lain:

·         Nilai kanan (NK / RHS) fungsi tujuan harus nol (0).

·         Nilai kanan (RHS) fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, nilai tersebut harus dikalikan –1.

·         Fungsi kendala dengan tanda “≤” harus diubah ke bentuk “=” dengan menambahkan variabel slack/surplus. Variabel slack/surplus disebut juga variabel dasar.

·         Fungsi kendala dengan tanda “≥” diubah ke bentuk “≤” dengan cara mengalikan dengan –1, lalu diubah ke bentuk persamaan dengan ditambahkan variabel slack. Kemudian karena RHS-nya negatif, dikalikan lagi dengan –1 dan ditambah artificial variabel/variabel buatan (M).

·         Fungsi kendala dengan tanda “=” harus ditambah artificial variabel (M).

Contoh :

Sebuah perusahaan meubel memproduksi meja dan kursi menggunakan papan, kayu, dan waktu pengerjaan. Setiap meja membutuhkan 5 unit papan, 2 unit kayu, dan 4 jam pengerjaan. Setiap kursi membutuhkan 2 unit papan, 3 unit kayu, dan 2 jam pengerjaan. Perusahaan dapat keuntungan $12 untuk meja dan $8 untuk kursi. Tersedia 150 unit papan, 100 unit Kayu, dan 80 jam pengerjaan. Berapa banyak produk agar keuntungan maksimum?

  Jawab :

- Variabel Keputusan  : X₁ = meja, dan  X₂  = kursi

- Fungsi Tujuan           : Maks. Z = 12 X₁ + 8 X₂

- Kendala                    : papan, kayu, dan waktu

Formulasi Model :

Maks. Z = 12 X₁ + 8 X₂

Kendala :     5 X₁  +   2 X₂   £  150 

                     2 X₁  +   3 X₂  £  100

                     4 X₁  +   2 X₂   £  80

           X₁ , X₂   ³  0

Bentuk standard

Maks. Z = 12 X₁ + 8 X₂ + 0.S₁ + 0.S₂ + 0.S₃

Kendala :     5 X₁ + 2 X₂   +  S₁    = 150 

                     2 X₁ + 3 X₂  +  S₂     = 100

                     4 X₁ + 2 X₂  +  S₃  =  80

X₁ , X₂ , S₁ , S₂ , S₃  ³  0

Tabel 2.1 Simpleks Solusi

                                             non basis

Basis (Dasar)	Z	X1	X2		S1		S2		S3	Solusi
Z	1	-12	-8		0		0		0	0		→ Pers Z
S1	0	5	2		1		0		0	150		→ Pers S1
S2	0	2	3		0		1		0	100		→ Pers S2
S3	0	4	2		0		0		1	80		→ Pers S3

Tabel 2.2 Simplek Rasio

                                        Var msk

Basis (Dasar)	Z	X1	X2		S1		S2		S3		Solusi	Rasio
Z	1	-12	-8		0		0		0		0
S1	0	5	2		1		0		0		150	150/5 = 30
S2	0	2	3		0		1		0		100	100/2 =50
S3	0	4	2		0		0		1		80	80/4 = 20

Pers Pivot (Var Keluar)    elemen pivot

Aturan metode Gauss Jordan :

1.    Pers. Pivot

Pers. Pivot baru = pers. pivot lama : elemen pivot

2.    Pers. Lain

Pers. Baru = pers. Lama – ( koef kolom var masuk * pers. Pivot baru )

Maka :

S₃                     X₁     =  ( 0   4   2   0   0   1   80 ) / 4

                           =  ( 0   1  ½  0   0   ¼  20 )

S₂   baru             =  ( 0   2   3   0   1   0   100 )  - 2 ( 0   1  ½  0   0   ¼  20 )

                          =  ( 0   2   3   0   1   0   100 )  -  ( 0   2   1   0   0   ½  40 ) 

                       =  ( 0   0   2   0   1   -½   60 )

S₁    baru             =  ( 0   5   2   1   0   0   150 )  - 5 ( 0   1  ½  0   0   ¼  20 )

                           =  ( 0   5   2   1   0   0   150 )  - ( 0   5  5/₂   0   0   5/₄   100 ) 

                        =  ( 0   0   -½   1   0   -5/₄   50 )

Z   baru              =  ( 1   -12  -8   0   0   0  0 )  - (-12) ( 0   1  ½  0   0   ¼  20 )

                           =  ( 1   -12  -8   0   0   0  0 )  - ( 0  -12   6   0   0   -3   -240 ) 

                        =  ( 1   0   -2   0   0   3   240 )

Tabel 2.3 Simplek Solusi & Rasio

                                                     Var msk

Basis (Dasar)		Z		X1	X2	S1		S2		S3	Solusi	Rasio
Z		1		0	-2	0		0		3	240
S1		0		0	-½	1		0		-5/4	50	50/(-½) = -100
S2		0		0	2	0		1		-½	60	60/2 = 30
X1		0		1	½	0		0		¼	20	20/(½) = 40

Pers Pivot (Var Keluar)       elemen pivot

 S₂                    X₂     =  ( 0   0   2   0   1   -½   60 ) / 2

                           =  ( 0   0   1  0   ½   -¼   30 )

X₁   baru             =  ( 0   1   ½   0   0   ¼   200 )  -  ½ ( 0   0   1  0   ½   -¼   30 )

                          =  ( 0   1   ½   0   0   ¼   200 )  -  ( 0   0   ½  0   ¼  -¹/₈  15 )

                       =  ( 0   1   0    0   -¼   ³/₈   5  )

S₁    baru             =  ( 0   0   -½   1   0   -5/₄   50 )  -  (-½ )( 0   0   1  0   ½   -¼   30 )

                          =  ( 0   0   -½   1   0   -5/₄   50 )  - ( 0   0  -½   0  -¼  ¹/₈  -15 )

                       =  ( 0  0  0  1  ¼  -¹¹/₈  65 )

Z   baru              =  ( 1   0   -2   0   0   3   240 )  -  (-2 )( 0   0   1  0   ½   -¼   30 )

                           =  ( 1   0   -2   0   0   3   240 )  -  ( 0   0   -2  0   -1   ½   -60 )

                        =  ( 1   0   0    0   1   5/₂   300 )

Tabel 2.4 Akhir Simplek

Basis (Dasar)		Z		X1	X2		S1		S2		S3		Solusi
Z		1		0	0		0		1		5/2		300
S1		0		0	0		1		¼		-11/8		65
X2		0		0	1		0		½		-¼		30
X1		0		1	0		0		¼		3/8		5

Kesimpulan  :  X₁    =  5      ( banyak meja )

                        X₂   =  30     ( banyak kursi )

                        S₁   =  65     ( unit papan / pers. Kendala 1  yg berlebih )

                        Z  =  300   ( keuntungan maks )

Bukti

Ø  Fungsi tujuan                     Z  = 12 X₁ + 8 X₂

                                                                  =  12 ( 5 ) + 8 ( 30 )

                                                                   =   60   +   240     =    300

Ø  Papan                         5 X₁ + 2 X₂   £  150

                                                        5 ( 5 ) + 2 ( 30 )  =  25  +  60  =  85              150  -  85  =  65   ( sisa )

Ø  Kayu                         2 X₁ + 3 X₂   £  100

                                                        2 ( 5 ) + 3 ( 30 )  =  10  +  90  =  100             

Ø  Waktu                      4 X₁ + 2 X₂   £  80

                                                        4 ( 5 ) + 2 ( 30 )  =  20  +  60  =  80